· Generalità sui Sistemi e Segnali a tempo continuo ed a tempo discreto Gradino unitario ed impulso unitario. Sistemi con o senza memoria - Sistemi invertibili - Sistemi Causali. Stabilità - Invarianza nel tempo - Linearità.
· Sistemi LTI Rappresentazione di segnali con impulsi. La somma di convoluzione e l’integrale di convoluzione. Proprietà commutativa, associativa, distributiva. Serie e Cascata di sistemi. Invertibilità per sistemi LTI - Causalità - Stabilità. La risposta al gradino unitario.
· Sistemi descritti da equazioni alle differenze Sistemi Lineari ed ‘incrementally linear’. Sistemi LTI. Sistemi FIR ed IIR. Soluzione della equazione standard alle differenze (SDE). Classe della omogenea associata e soluzione particolare. Scelta delle costanti per la causalità e la stabilità. La risposta impulsiva a partire dall’equazione alle differenze.
· Analisi di Fourier Serie di Fourier a tempo continuo. Determinazione dei coefficienti. Approssimazione mediante polinomi trigonometrici - Minimizzazione dell’energia dell’errore. Validita’ e convergenza. Le condizioni di Dirichelet. Il fenomeno di Gibbs.
Trasformata di Fourier a tempo continuo. Condizioni di convergenza. Formula di inversione. Fenomeno di Gibbs. FT per segnali periodici - Distribuzioni. Proprietà della FT: linearità - simmetria - traslazione nel tempo - differenziazione ed integrazione - Scalatura nel tempo e nella frequenza. Dualità tempo - frequenza. Relazione di Parseval. Principio di indeterminazione. Proprietà della convoluzione : serie e parallelo di sistemi. Modulazione di ampiezza, demodulazione.
Analisi di Fourier per segnali e sistemi a tempo discreto. Risposta di sistemi LTI a tempo discreto ad esponenziali complessi Serie di Fourier a tempo discreto (DFS) per la rappresentazione di sequenze periodiche. Inversione di questa trasformazione. Trasformata di Fourier a Tempo Discreto (DTFT) per sequenze infinite. Criteri di convergenza. Formula di inversione. DTFT di segnali periodici. Trasformata Discreta di Fourier (DFT) per sequenze finite. Proprietà della DTFT : periodicità, linearità, simmetria- traslazione nel tempo e nella frequenza- differenza e somma infinita. Scalatura nel tempo e nella frequenza - differenziazione in frequenza. Relazione di Parseval Proprietà della convoluzione. Stabilità di un sistema LTI e convergenza della sua risposta in frequenza. La convoluzione periodica. Dualità tra le varie trasformate.
· Sistemi discreti Teorema di Shannon. Teorema generalizzato del campionamento. Filtro passa basso ideale. Risposta in frequenza di sistemi caratterizzati da equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. · La trasformata Z Convergenza, regione di convergenza. Trasformate razionali : espansione in frazioni parziali. Inversione della trasformata Z : metodo diretto, espansione in fratti parziali, espansione mediante serie di potenze. Proprietà della trasformata Z : linearità, traslazione nel tempo, shift in frequenza, inversione del tempo. Proprietà della convoluzione, proprietà della derivata, teorema del valore iniziale. · Filtri digitali Sistemi del primo e secondo ordine. Strutture realizzative.
· Richiami di analisi funzionale. Spazi vettoriali, spazi di Hilbert. Lo spazio e , prodotto scalare, norma, distanza. Ortogonalità, ortonormalità, completezza di un set di vettori. Esempi di set ortogonali, wavelets di Haar, polinomi ortogonali.
· Studio di sistemi continui mediante equazioni alle differenze finite e trasformata Z. Discretizzazione di equazioni differenziali e sua conseguenza nel dominio della frequenza. Approssimazione delle derivate con rapporti incrementali di vario ordine, conseguenti trasformazione di variabili. Approssimazione dell’ integrale con la regola del trapezio : la trasformazione bilineare. Formule di approssimazione della derivata mediante polinomi interpolanti. Sistemi del primo ordine nel continuo e nel discreto. Sistemi del secondo ordine nel continuo e nel discreto. Ritardo di gruppo e ritardo di fase. Filtri digitali All Pass : caratteristiche. Sistemi a fase lineare, sistemi a fase minima. Sintesi delle corde vibranti : algoritmo di Karplus-Strong.
· Trasformate integrali Formula di inversione : proprietà del nucleo. Formula di commutazione : proprietà del nucleo. Operatori differenziali che generano nuclei. Caso del primo ordine : Laplace, Fourier. Trasformata di Fourier e funzioni generalizzate : definizioni e proprietà. · Cenni sulle Trasformate tempo-frequenza Implementazione con banchi di filtri di trasformate ed espansioni. Trasformata integrale di Fourier a tempo breve : finestramento. Espansione di Gabor. Trasformata discreta di Fourier a tempo breve (STFT): finestramento. Implementazione con banchi di filtri della STFT campionata. Decimazione ed interpolazione. Cenni sulle trasformate wavelet
· Strutture per l’implementazione di sistemi digitali alle differenze. Fattorizzazione in sezioni : implementazione serie e parallela. Equazione alle differenze di ordine qualsiasi. Strutture di realizzazione.
· Equazioni alle differenze finite. Calcolo delle costanti necessarie ad ottenere in forma chiusa i campioni della soluzione delle equazioni alle differenze finite : caso della sequenza dei numeri di Fibonacci. Convoluzione tra segnali varii (onda quadra, triangolare etc.) Interpolazione mediante convoluzione : il caso dell'interpolazione lineare e dell'interpolazione mediante passa basso (sinc finestrato o passa basso tipo Chebishev) Verifica del limite di Nyquist nel campionamento Simulazione di una corda vibrante mediante algoritmo di Karplus-Strong Sottocampionamento e sovracampionamento di segnali : spettri. Plot delle wavelet di Haar continue e loro versione discreta · Studio di sistemi Sistema del primo ordine : 1 polo, 1 zero, un polo ed uno zero. Confronto tra sistema continuo e discreto. Sistema del secondo ordine : 2 poli, 2 poli e due zeri. Sistema risonante di Karplus Strong. Filtro passa tutto. Filtri Chebishev e Butterworth via Matlab. Zeri poli risposta impulsiva ed in frequenza
Per ognuno dei sistemi ricercare risposta impulsiva, risp. in frequenza, ritardo di fase e di gruppo, posizioni dei poli e zeri. La risposta in frequenza va ricavata al variare di parametri rilevanti (eg. Posizione angolare o modulo di poli e zeri)
Oppenheim & Schafer "Digital Signal Processing" Prentice Hall 1975 o meglio la sua versione aggiornata : Oppenheim & Schafer "Discrete Signal Processing" Prentice Hall 1989 Oppenheim & Willsky "Signals and Systems" Prentice Hall 1983 Papoulis "The Fourier integral and its applications" Prentice Hall 1985
altri testi di DSP possono essere equivalentemente utilizzati : come ad es. Roberts & Mullis Digital Signal Processing Addison-Wesley 1987 M.Bellanger Digital Processing of Signal John Wiley&Sons 1989
Sono infine disponibili appunti manoscritti , che coprono gran parte del programma